微积分(A)随缘一题[9]

\(\lim_{x \to 0^+}\cos \frac{1}{x}\) 不存在，同时 \(-1 \le \cos \frac{1}{x} \le 1\)

右连续：\(\lim_{x \to 0^+}f(x)=f(0)=0\)，所以 \(\lim_{x \to 0^+}x^a\cos \frac{1}{x}=0\)，所以 \(\lim_{x \to 0^+}x^a=0\)，所以 \(a > 0\)

右导数不存在：\(\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x \to 0^+}x^{a-1}\cos \frac{1}{x}\) 不存在，所以 \(a-1 \le 0\)

所以 \(a \in (0,1]\)