AtCoder Beginner Contest 197 F - Construct a Palindrome

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题目大意

给定 \(N\) 个点 \(M\) 条边，每条边都对应一个小写字母

问是否存在一条从 \(1\) 到 \(N\) 的路径，使得路径上的字母构成的字符串为回文串

• 若存在则输出回文串的最短长度
• 若不存在则输出 \(-1\)

解题思路

考虑双向 \(bfs + dp\) （以 \(dp\) 来思考会好理解许多）

从 \(1\) ~ \(n\) 的路径构成回文相当于：

• 从 \(1\) ~ \(i\) 的路径和从 \(i\) ~ \(n\) 的路径构成回文

• 从 \(1\) ~ \(i\) 的路径和从 \(j\) ~ \(n\) 的路径构成回文，其中 \(i、j\)相邻

于是可以定义 \(dp[i][j]\) 来判断从\(1\) 到 \(i\) 的路径和从 \(n\) 到 \(j\) 的路径是否构成回文

• \(dp[i][j] = 1\) 表示构成回文串
• \(dp[i][j] = 0\) 表示不构成回文串

有点类似从两头一起出发往中间靠的区间 \(dp?\)

起初一头在 \(1\) 号点，另一头在 \(N\) 号点

起初 \(1\)~\(1\) 之间没有路径，\(N\)~\(N\) 之间也没有路径

所以初始化 \(dp[1][n] = 1\)，并把 \((1,n)\) 打包存入队列进行双向 \(bfs\)

在 \(bfs\) 的过程中：

• 当 \(i = j\) 或 \(i、j\) 相邻时更新答案
• 当 \(i\) 的相邻边和 \(j\) 的相邻边相同时，定义 \(i\) 的相邻节点为 \(ii\)，\(j\) 的相邻节点为 \(jj\)，那么可由 \(dp[i][j] = 1\) 推出 \(dp[ii][jj] = 1\)，然后把 \((ii,jj)\) 打包存入队列继续 \(bfs\)

AC_Code

#include
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int n , m , mp[N][N] , dp[N][N]; 
vectorG[N][30]; 
signed main()
{
	cin >> n >> m ;
	for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
	{
		int u , v;
		char ch;
		cin >> u >> v >> ch;
		G[u][ch - 'a'].push_back(v);
		G[v][ch - 'a'].push_back(u);
		mp[u][v] = mp[v][u] = 1;
	}
	int res = 1e9;
	queue , int>>que;
	que.push(make_pair(make_pair(1 , n) , 0));
	dp[1][n] = 1;
	while(!que.empty())
	{
		pair , int>q = que.front();
		que.pop();
		int x = q.fi.fi , y = q.fi.se , z = q.se;
		if(z > res) break ;
		if(x == y) res = min(res , z);
		if(mp[x][y]) res = min(res , z + 1);
		for(int k = 0 ; k <= 25 ; k ++)
		{
			for(auto i : G[x][k])
			{
				for(auto j : G[y][k])
				{
					if(dp[i][j]) continue ;
					dp[i][j] = 1;
					que.push(make_pair(make_pair(i , j) , z + 2));
				}
			}
		}
	}
	if(res == 1e9) res = -1;
	cout << res << '\n';
	return 0;
}