简单题。
发现最终状态无限，起始状态有限，考虑逆推（辅以记忆化）
设 \(f[x][y][z]\) 为 \(x\) 个 a，\(y\) 个 \(b\)，\(z\) 个 ab 的期望 ab 个数。
则考虑能怎样走到哪些状态。
选 a，\(f[x+1][y][z]\)
选 b，\(f[x][y+1][x+y]\)
发现 b 这一维没啥用，因为前面的 b 对当前构不成影响，删去。
设 \(f[x][y]\) 为 \(x\) 个 a,\(y\) 个 ab 的期望。
\[f[x][y]=P(A)*f[x+1][z]+P(B)*f[x][x+y]
\]
但是可能会有 \(\lim_{x\to +\infty}\)，即无法知道边界。
考虑当 \(x+y \ge k\)，我们只需要算出在选一定次数 a 后选到 b 的期望和即可。
\[P(B)*\sum_{i=0}^{\infty}P(A)^i*(x+y+i)
\]
代下
\[{\sum_{i=0}^{\infty}p^i=\dfrac{1}{1-p}}
\]
\[\sum_{i=0}^{\infty}p^ii=\dfrac{p}{(1-p)^2}
\]
补充下 2 式证明
\[\sum_{i=0}^{\infty}p^ii=s
\]
\[s-sp=\sum_{i=1}^{\infty}p^ii
\]
\[\dfrac{s(1-p)}{p}=\sum_{i=0}^{\infty}p^ii
\]
\[s=\dfrac{p}{(1-p)^2}
\]
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