微积分(A)随缘一题[4]

利用零点存在定理证明：

1. 设 \(f \in C(-\infty,+\infty)\) 且 \(f(f(x))=x\)，证明：\(\exists \zeta \in (-\infty,+\infty),s.t.f(\zeta)=\zeta\)
2. 设 \(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数，证明：在任何一个周期内，有 \(\exists \zeta \in \mathbb{R},s.t.f(\zeta+\pi)=f(\zeta)\) 成立
3. 设 \(f\in C[a,b]\)，且 \(f([a,b]) \subset [a,b]\)，证明：\(\exists \zeta \in [a,b],s.t. f(\zeta)=\zeta\)

1. 考虑反证法，假设 \(\forall x \in \mathbb{R},f(x)>x\)，则 \(x=f(f(x))>f(x)>x\) 产生矛盾，所以 \(\exists x_1 \in \mathbb{R},s.t.f(x_1) \le x_1\)
   同理有 \(\exists x_2 \in \mathbb{R},s.t.f(x_2) \ge x_2\)
   设 \(g(x)=f(x)-x\)，则 \(g(x_1) \le 0,g(x_2) \ge 0\)，所以 \(\exists \min\{x_1,x_2\} \le \zeta \le \max\{x_1,x_2\},s.t.g(\zeta)=0 \Rightarrow \exists \zeta \in \mathbb{R},s.t.f(\zeta)=\zeta\)
2. 只需证 \(f(x)\) 在 \([0,2\pi)\) 上成立即可
   设 \(g(x)=f(x+\pi)-f(x)\)，则 \(g(0)=f(\pi)-f(0),g(\pi)=f(2\pi)-f(\pi)=f(0)-f(\pi)=-g(0)\)，所以 \(g(0)g(\pi) \le 0\)
   又因为 \(g(\pi)+g(0)=0\)，所以 \(\exists \zeta \in [0,\pi),s.t.g(\zeta)=0\)，即 \(\exists \zeta \in [0,\pi),s.t. f(\zeta+\pi)=f(\zeta)\)
3. 设 \(g(x)=f(x)-x\)
   因为 \(f([a,b]) \subset [a,b]\)，所以 \(g(a)=f(a)-a \ge a-a=0,g(b)=f(b)-b \le b-b=0\)
   所以 \(g(a)g(b) \le 0\)，所以 \(\exists \zeta \in [a,b],s.t.g(\zeta)=0\) 即 \(f(\zeta)=\zeta\)