【柯】代数学引论 第1章 §9.整数的算术

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\(Page.48\\1.\ 如果形如\ 4k-1\ 的素数有无穷多个,设为4k_{1}-1,4k_{2}-1,···,4k_{n}-1\\\quad 设其余小于4k_{n}-1但不包含2的所有素数为4k'_{1}+1,4k'_{2}+1,···,4k'_{m}+1\\\quad 则c=2*(4k_{1}-1)···(4k_{n}-1)(4k'_{1}+1)···(4k'_{m}+1)+1为素数且可以表达为4k'+1的形式\\\quad 并且有2\not\mid (4k_{1}-1)···(4k_{n}-1)(4k'_{1}-1)···(4k'_{m}-1)即2\not\mid \prod_{i=1}^{n}(4k_{n}-1)\ *\ \prod_{j=1}^{m}(4k_{m}+1)\\\quad 2*\prod_{i=1}^{n}(4k_{n}-1)\ *\ \prod_{j=1}^{m}(4k_{m}+1)+1=4k'+1\\\quad \prod_{i=1}^{n}(4k_{n}-1)\ *\ \prod_{j=1}^{m}(4k_{m}+1)=2k\\\quad 则可得到\ 2\mid \prod_{i=1}^{n}(4k_{n}-1)\ *\ \prod_{j=1}^{m}(4k_{m}+1)\ ,与假设矛盾,故形如\ 4k-1\ 的素数有无穷多个\)?
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\(2.\ 用数学归纳法易证,下面给出更有趣(并不)的论断的证明\\\quad 设p_{i}为素数,p_{i}=4k\pm 1,n=p_{1}p_{2}···p_{n},则n可表示为4k\pm 1的形式,n^{2}可表示为4k+1的形式\\\quad 或n=2p_{1}p_{2}···p_{n},则n可表示为4k的形式,n^{2}可表示为4k的形式\\\quad 设q_{i}为素数,q_{i}=4k\pm 1,m=q_{1}q_{2}···q_{m},则m可表示为4k\pm 1的形式,m^{2}可表示为4k+1的形式\\\quad 故任意m^{2}+n^{2}\ (g.c.d(m,n)=1)\ 可表达为4k+1的形式\\~\\\quad 当m^{2}+n^{2}为一个素数时,\ p=m^{2}+n^{2}=4k+1\ 显然成立\\~\\\quad 当m^{2}+n^{2}为一个合数时,设r\mid m^{2}+n^{2}\ ,sr=m^{2}+n^{2}\\\quad 则必然存在0\leqslant m_{1}1时的情况\\~\\\quad 若s_{2}=2k,则有2\mid m_{2}^{2}+n_{2}^{2},即m_{2},n_{2}同奇偶\\\quad 设s_{3}=\frac{s_{2}}{2},\ m_{3}=\frac{\left | m_{2}+n_{2}\right |}{2},\ n_{3}=\frac{\left | m_{2}-n_{2}\right |}{2}\\\quad 由\frac{s_{2}}{2}r=(\frac{\left | m_{2}+n_{2}\right |}{2})^{2}+(\frac{\left | m_{2}-n_{2}\right |}{2})^{2}得,\ s_{3}r=m_{3}^{2}+n_{3}^{2},\ g.c.d(m_{3},n_{3})=t_{3},由g.c.d(m_{2},n_{2})=1可知g.c.d(m_{3},n_{3})=t_{3}=1\\~\\\quad 若s_{2}=2k+1>1,对于s_{2}r=m_{2}^{2}+n_{2}^{2}\\\quad 则必然存在0\leqslant m_{3}1,则根据能依靠上述方法再次讨论,直至s_{4}=1时结束.\\~\\\quad Q.E.D\)
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\(3.\ 数学归纳法易证\)
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\(4.\ 数学归纳法易证\)