线性代数真难，而且这个学期就要结课。学到现在（矩阵的分块），个人感觉最难的还是行列式的计算。哎哎。不过好在这些东西很有套路性，经过一番学习后，我就来总结一下——

行列式的分类

第一类 范德蒙德行列式

占坑

第二类 箭头行列式（爪型行列式）

此类行列式以形状酷似箭头而得名。

如下是一个箭头行列式。

\(Dn =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&p&p& \cdots &p\\ q&{x2}&{}&{}&{}\\ q&{}&{x3}&{}&{}\\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}\\ q&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)

要计算这种行列式，只需设法将箭头的任意一侧消去，得到一个三角行列式后即可快速计算。
现在以消去左箭头，即第一列为例：
若想消去第一列的第二个元素q，则将第二列整体乘以\(-\frac{q}{x2}\)后加到第一列，得到

\(Dn =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1 + p( - \frac{q}{{x2}})}&p&p& \cdots &p\\ 0&{x2}&{}&{}&{}\\ q&{}&{x3}&{}&{}\\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}\\ q&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)

若想消去第一列的第三个元素q，则将第三列整体乘以\(-\frac{q}{x3}\)后加到第一列，得到

\(Dn =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1 + p( - \frac{q}{{x2}})+p( - \frac{q}{{x3}})}&p&p& \cdots &p\\ 0&{x2}&{}&{}&{}\\ 0&{}&{x3}&{}&{}\\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}\\ q&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)

这个操作重复多次，直到得到上三角行列式

\(Dn =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1 - pq\sum\limits_{i = 2}^n {_{}} \frac{1}{{xi}}}&p&p& \cdots &p\\ {}&{x2}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{x3}&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)

解得
\(Dn = (x1 - pq\sum\limits_{i = 2}^n\frac{1}{{xi}})\prod\limits_{i = 2}^n {xi}\).

第三类 两三角型行列式

\(Dn = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&b&b& \cdots &b\\ a&{x2}&b& \cdots &b\\ a&a&{x3}& \cdots &b\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a&a&a& \cdots &{xn} \end{array}} \right|\)

两三角形行列式就像所有的0都被填满了的上三角和下三角行列式。主对角线上下的元素都分别为\(a\)和\(b\)

1.当\(a=b\)时：

\(Dn = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&a&a& \cdots &a\\ a&{x2}&a& \cdots &a\\ a&a&{x3}& \cdots &a\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a&a&a& \cdots &{xn} \end{array}} \right|\)

如果能把主对角线下（或者上）方的所有a消去，得到一个箭头行列式，再套用上面的方法，那么问题便可解决。
要想消去\(a\)得到\(0\)，经过观察发现，第二列及其之后的所有列的第一个元素都是\(a\)，那么让从第二行开始的每一行都减去第一行即可。得到

\(Dn = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&a&a&a&a\\ {a - x1}&{x2 - a}&{}&{}&{}\\ {a - x1}&{}&{x3 - a}&{}&{}\\ \cdots &{}&{}& \ddots &{}\\ {a - x1}&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)

化成箭头行列式：

\(Dn = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1 + a(x1 - a)\sum\limits_{i = 2}^n {\frac{1}{{xi - a}}} }&a&a&a&a\\ 0&{x2 - a}&{}&{}&{}\\ 0&{}&{x3 - a}&{}&{}\\ \vdots &{}&{}& \ddots &{}\\ 0&{}&{}&{}&{xn} \end{array}} \right|\)

解得\(Dn=[x1 + a(x1 - a)\sum\limits_{i = 2}^n {\frac{1}{{xi - a}}}]\prod\limits_{i = 2}^n {(xi-a)}\)

2.当\(a≠b\)时

\(Dn = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x1}&b&b& \cdots &b\\ a&{x2}&b& \cdots &b\\ a&a&{x3}& \cdots &b\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a&a&a& \cdots &{xn} \end{array}} \right|\)