【柯】代数学引论 第3章 §3.行列式的应用
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\(Page.108\\1.\ (1)\ (AB)^{\vee }_{ji}=(-1)^{i+j}*det(A([1:i-1,i+1:n],:)*B(:,[1:j-1,j+1:n]))
\\\qquad \qquad \quad \ \ =^{[1]} (-1)^{i+j}*\sum_{k=1}^{n}A_{ik}*B_{kj}=(B^{\vee }*A^{\vee })_{ji}
\\\quad (2)\ 略
\\\quad (3)\ (\lambda A)^{\vee }_{ji}=(-1)^{i+j}\lambda ^{n-1}A_{ij}=\lambda ^{n-1}A^{\vee }_{ji}
\\\qquad \ \ 故(\lambda A)^{\vee }=\lambda ^{n-1}A^{\vee }
\\\quad (4)\ 当\ rank(A)=n\ 时, (A^{\vee })^{\vee}=(det\ A*A^{-1})^{\vee }=(A^{-1})^{\vee }*(det\ A)^{n-1}=(det\ A)^{n-2}A
\\\qquad \ \ 当\ rank(A)
\([1]\)比内-柯西(Binet-Cauchy)公式的证明与应用?
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\(2.\ rank\ A=\left\{\begin{array}{l}n\qquad rank\ A=n\\1\qquad rank\ A=n-1\\0\qquad rank\ A\leqslant n-2\end{array}\right.\)
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\(3.\ dim\ V_{C}+rank\ V=n
\\\quad 0向量必为齐次方程的一组解
\\\quad 即证\)
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\(4.\ 作行列式\ U=\begin{vmatrix}
a_{\alpha 1}&a_{\alpha 2}&a_{\alpha 3}&···&a_{\alpha n}\\
a_{11}&a_{21}&a_{31}&···&a_{n1}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&···&a_{2n}\\
···&···&···&···&···\\
a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&···&a_{n-1,n}
\end{vmatrix}
\\\quad 将此行列式沿第一行展开,得到\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{\alpha i}D_{i}=0
\\\quad 即X^{0}=[D_{1},-D_{2},D_{3},···,(-1)^{n+1}D_{n}]=为该欠定方程的一个解
\\\quad 又dim\ V_{A}=n-(n-1)=1
\\\quad 故以X^{0}为基可以构造解空间
\\\quad 即该欠定方程的任意解均可表示为X=\lambda X^{0}的形式\)
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\(5.\ (n-1)|a_{ii}|<|a_{ij}|
\\\quad 设|a_{kk}|=max(|a_{ii}|)
\\\quad 则\sum_{i=1}^{n-1}|a_{ij}|<\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}|a_{ii}|<|a_{kk}|
\\\quad 即若A_{(n)}\in span(A_{1},···,A_{n-1})
\\\quad 则最大元素必不为a_{nn}
\\\quad 与题意相悖\)