快速幂简介

快速幂其实就是可以使我们快速得到 $a^n$ 的值，一般模拟就是 $O(n)$，而快速幂有了很大的提高，达到了 $O(lo{g}_{2}n)$。

快速幂的实现

我们知道

$a^n=a^{x+y}=a^x\times a^y,x+y=n$

这样就可以拆分成两个幂的积。

快速幂就是把 $a^n$ 拆分成

$a^{2^{k_1}}\times a^{2^{k_2}}\times ...$

只要把 $n$ 拆成二进制，再一位一位乘起来。

举个例子

我们要算 $5^{13}$ 时。

$13$ 拆成二进制就是 $1101$

$5^{13}=5^{1101_{(2)}}$

$=5^{1_{(2)}}\times 5^{100_{(2)}}\times 5^{1000_{(2)}}$

$=5^1\times 5^4\times 5^8$

这样我们只要从$1,2,4,8....$算出来就可以了。

注意，$5^8=5^{4^2}$，是指数级的平方

代码

#define ll long long
ll quilklypow(ll a,ll b){
    int cnt=a,ans=1;
    while(b){
        if(b&1)//等价于b%2==1
            ans*=cnt;
        cnt*=cnt;//不是乘以a，而是乘方，因为算指数扩大2倍，实际上就是底数乘方
        b>>=1;//等价于b/=2
    }
    return ans;
}

谢谢–zhengjun