本文作为自己学习李宏毅老师2021春机器学习课程所做笔记，记录自己身为入门阶段小白的学习理解，如果错漏、建议，还请各位博友不吝指教，感谢！！

Critical Point

当我们观察训练集上的Loss出现如下两种形式时：

1. 蓝色线：当Loss下降到一定程度后，便不再减小。但此时的Loss并不能满足我们对模型的要求。
2. 橙色线：Loss一直没有下降。

出现上述两种情况的原因可能是：损失函数的梯度（gradient）非常接近零，导致损失函数更新后不会下降。在训练过程中如果损失函数陷入局部最小值（Local minima）或鞍点（saddle point）都会出现上述优化失败的情况，这两种情况统称为critical point。

Local Minima

对于很多非线性优化问题，会存在若干个局部最小值（Local Minima），其对应的解称为局部最小解（Local Minimizer）。

局部最小解定义

存在一个\(\delta>0\)，对于所有的满足\(||x-x^*|| \le \delta\)的\(x\)，都有\(f(x^*) \le f(x)\)。也就是说，在\(x^*\)的邻域内，所有的函数值都大于等于\(f(x^*)\)。

PS：此处的\(x\)指的是模型中的未知参数，即\(\theta\)。

判断局部最小值

要确定一个点\(x^*\)是否为局部最小解，通过比较它的邻域内有没有更小的函数值是不现实的。如果函数\(f(x)\)是二次连续可微的，我们可以通过检查目标函数在\(x^*\)的梯度\(\nabla f(x^*)\)和Hessian矩阵\(\nabla^2 f(x^*)\)来判断。

局部最小解的一阶必要条件：如果\(x^*\)为局部最小解并且函数\(f\)在\(x^*\)的邻域内一阶可微，则在\(\nabla f(x^*)=0\).

证明：
如果函数\(f(x)\)是连续可微的，根据泰勒公式（Taylor‘s Formula），函数\(f(x)\)的一阶展开可以近似为：

\[f(x^*+\Delta x) =f(x^*)+\Delta x^T \nabla f(x^*) \]

假设\(\nabla f(x^*) \ne 0\)，则可以找到一个\(\Delta x\)（比如\(\Delta x=-\alpha \nabla f(x^*)\), \(\alpha\)为很小的正数），使得

\[f(x^*+\Delta x) -f(x^*) = \Delta x^T \nabla f(x^*) \le 0. \]

这和局部最小的定义矛盾。

局部最小解的二阶必要条件：如果\(x^*\)为局部最小解并且函数\(f\)在\(x^*\)的邻域内二阶可微，则在\(\nabla f(x^*)=0\), \(\nabla^2 f(x^*)\)为半正定矩阵。

证明：
如果函数\(f(x)\)是二次连续可微，函数\(f(x)\)的二阶展开可以近似为：

\[f(x^* + \Delta x) = f(x^*) + \Delta x^T \nabla f(x^*) + \frac{1}{2}\Delta x^T (\nabla^2 f(x^*) )\Delta x \]

由一阶必要定理可知\(\nabla f(x^*)=0\)，则：

\[f(x^* + \Delta x) - f(x^*) = \frac{1}{2} \Delta x^T(\nabla^2f(x^*))\Delta x \ge 0. \]

即\(\nabla^2f(x^*)\)为半正定矩阵。

Saddle Point

鞍点的叫法是因为其形状像马鞍．鞍点的特征是一阶梯度为 0，但是二阶梯度的 Hessian矩阵不是半正定矩阵。

如上图所示：鞍点处，参数关于损失函数的一阶梯度为0。但鞍点在一些维度上是最小值，在另一些维度上又是最大值。通过某些方法是可以让优化方法逃离鞍点的。

判断Critical Point类型

当目标函数处于Critical Point时，可能是有Local min、Local max和Saddle point三种情况，如下图所示：

具体判断是哪一种情况，我们可以采用和判断是否为局部最小解一样的方法。

1. 首先使用泰勒公式近似的表示Critical Point周围的点\(\theta\)：

\[L(\theta) \approx L(\theta') + (\theta - \theta')^Tg + \frac{1}{2}(\theta-\theta')^TH(\theta-\theta') \]

其中\(g\)是一个向量，即：

\[g = \nabla L(\theta') \qquad g_i=\frac{\partial L(\theta')}{\partial \theta_i} \]

\(H\)是一个Hessian矩阵：

\[H_{ij}=\frac{\partial^2L(\theta')}{\partial \theta_i \partial \theta_j} \]

如下图所示，其中\((\theta - \theta')^Tg\)表示绿线部分，\(\frac{1}{2}(\theta-\theta')^TH(\theta-\theta')\)表示红线部分（同时表示critical points处的性质），两者同时来弥补\(L(\theta)\)和\(L(\theta')\)之间的差异。

2. 因为目标函数处于Critical Point，所以此处的梯度\(g\)为0，所以上面的公式可以表示为：

\[L(\theta) \approx L(\theta') + \frac{1}{2}(\theta-\theta')^TH(\theta-\theta') \]

从该公式中，我们可以看出\(\theta'\)处是何种critical point是取决于\(\frac{1}{2}(\theta-\theta')^TH(\theta-\theta')\)的符号。
3. 令\((\theta - \theta') = v\)，有：
1）当\(H\)是正定矩阵（所有的特征值是正的），有\(v^THv>0\)，也就是\(L(\theta)>L(\theta')\)，即\(\theta'\)处是Local minima。
2）当\(H\)是负定矩阵（所有的特征值是负的），有\(v^THv<0\)，也就是\(L(\theta)，即\(\theta'\)处是Local maxima。
3）当\(H\)是半正定矩阵（特征值有正、有负），有时\(v^THv>0\)，有时\(v^THv < 0\)，也就是即\(\theta\)处是Saddle Point。

以一个简单的例子来看：
Function: \(y=w_1w_2x\)，如下图所示：

这里令\(x=1 \quad \hat{y}=1\)

根据\(g=0\)可以求得\(w_1=0 和 w_2=0\)，由此得到hessian，并解出特征值\(\lambda_1=2\)和\(\lambda_2=-2\)，所以\(x\)位于Saddle Point处。

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参考资料：

1. 《神经网络与深度学习》 邱锡鹏
2. 有关正定矩阵知识：https://blog.csdn.net/asd136912/article/details/79146151