联机游戏玩家卡顿概率分析

比较联机游戏不同玩家数量时，卡顿的概率。
比如六人联机卡顿概率是三人联机的几倍（其实这是我思考这个问题的出发点。

问题简化:

假设一个玩家网络卡顿的概率为p， 且0<=p<=1。
那么n个玩家联机打一局游戏，遇到卡顿的概率是多少？

说明1：只要有一个玩家卡顿就算这局游戏卡顿。
说明2: n>=2，因为一人单机不用联网。

分析与求解

直接去计算卡顿是很麻烦的，
因为要考虑多种情况:

• 1个玩家卡顿
• 2个玩家卡顿
  ......
• n个玩家卡顿

正难则反

我们从该问题的反向情况思考，
即没有玩家卡顿的概率是多少，再用1一减。

那么就很简单，一个玩家不卡顿的概率是\(1-p\)，
n个玩家都不卡顿的概率是\((1-p)^n\)

所以遇到卡顿的概率如下

\[P = 1 - (1-p)^n \]

这个展开写的话，有点麻烦了，就不详细展开了。

接下来我们要探究的是不同人数的卡顿概率问题

深入探究

总体数据变化

对于固定的n，这个最终结果受到变量p的影响。
把这个写成函数形式如下

\[P_n(p) = 1 - (1-p)^n \]

那么n取2,3,4,5,6时，对应的函数如下

\[P_2(p) = 1 - (1-p)^2\\ P_3(p) = 1 - (1-p)^3\\ P_4(p) = 1 - (1-p)^4\\ P_5(p) = 1 - (1-p)^5\\ P_6(p) = 1 - (1-p)^6\\ \]

我们首先看下，n在这些值时，
\(P_n\)与变量p的变化关系。

不同n值的差别在p比较小的时候很明显，但是差距好像也不是很大，起码比我预想中的要小。
以p=0.1为例，

\[P_2 = 0.19 \\ P_3 = 0.27 \\ P_4 = 0.34 \\ P_5 = 0.41 \\ P_6 = 0.47 \]

\(P_6\)约是\(P_2\)的2.5倍左右

不过数据比例关系在这个图中感觉还是不够直观，尤其是p<0.1时，太小看不清。

6v3

下面专门来看看六玩家卡顿概率是三玩家卡顿概率的多少倍。

\[\begin{aligned} M_{6-3} &= \frac {P_6(p)} {P_3(p)} = \frac {1 - (1-p)^6} {1 - (1-p)^3} \\ &= \frac {(1 - (1-p)^3)(1 + (1-p)^3)} {1 - (1-p)^3} &\text{平方差公式}\\ &= (1 + (1-p)^3) \end{aligned} \]

由于0 这个倍数关系范围在1-2之间，
具体如下图

6v2

再来看看六玩家卡顿概率是二玩家卡顿概率的多少倍。

\[\begin{aligned} M_{6-2} &= \frac {P_6(p)} {P_2(p)} = \frac {1 - (1-p)^6} {1 - (1-p)^2} \\ &= \frac {(1 - (1-p)^2)(1 + (1-p)^2 + (1-p)^4 )} {1 - (1-p)^2} &\text{立方差公式} \\ &= 1 + (1-p)^2 + (1-p)^4 \end{aligned} \]

由于0 这个倍数关系范围在1-3之间，
其图像如下

结论

• 6玩家卡顿概率,最多是3玩家卡顿概率的两倍
• 6玩家卡顿概率,最多是2玩家卡顿概率的3倍

由于p=0时，P都为0, 所以实际上最大值达不到。